August 17, 2013

Kinematic

Il modello cinematico della piattaforma robotica, costituita da un telaio che basa il suo movimento su due motori ed un ruotino, può essere ricondotto a quello della configurazione a “uniciclo”. Un uniciclo è un veicolo con una singola ruota orientabile come nella figura seguente. La cui configurazione è completamente descritta da \mathbf{q} = [ x \quad y \quad \theta ]^T , dove ( x,y ) sono le coordinate cartesiane del punto di contatto della ruota con il suolo, o equivalentemente del centro della ruota, e \theta è l’orientamento della ruota (e dunque del veicolo) rispetto all’asse x. [Bibliografia in fondo alla pagina]

\dot x\sin \theta - \dot y\cos \theta = \begin{bmatrix} \sin \theta & - \cos \theta & 0 \end{bmatrix}\mathbf{\dot q} = \mathbf{A}(\mathbf{q})\mathbf{\dot q} = 0

Il vincolo di puro rotolamento della ruota è espresso dalla eq. precedente e indica che la velocità lineare del punto di contatto è nulla nella direzione normale all’asse sagittale del veicolo. La retta passante per il punto di contatto e avente tale direzione viene quindi definita linea di spostamento nullo. Considerata la matrice le cui colonne costituiscono, per ogni \mathbf{q}, una base dello spazio nullo della matrice associata al vincolo Pfaffiano.

\mathbf{G}( \mathbf{q} ) = [\mathbf{g_1}( \mathbf{q} ) \quad \mathbf{g_2}( \mathbf{q} )] = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 \\ \sin \theta & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

tutte le velocità generalizzate ammissibili in una data configurazione \mathbf{q} sono espresse come combinazione lineare delle due colonne della matrice Pfaffiana. Il modello cinematico è dunque il seguente:

\begin{bmatrix}\dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos \theta \\ \sin \theta  \\ 0\end{bmatrix}v +\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\omega
unicycle

unicycle

nella quale gli ingressi v e \omega hanno una chiara interpretazione fisica. In particolare, v è la velocità lineare del punto di contatto tra la ruota ed il suolo, ovvero del centro della ruota, ed è pari al prodotto tra il raggio della ruota e la velocità di rotazione della stessa intorno all’asse orizzontale; mentre \omega è la velocità angolare del robot, pari alla velocità di rotazione intorno all’asse verticale.

Nel caso del robot Explorer, robot a trazione differenziale, il modello della configurazione a uniciclo descrive completamente il suo comportamento; in particolare, il punto di coordinate cartesiane (x,y ) rappresenta in questo caso il punto medio dell’asse delle ruote, mentre \theta è l’orientamento delle ruote e quindi della piattaforma mobile. Il modello cinematico della configurazione a uniciclo può essere applicato a “Explorer” utilizzando gli ingressi di controllo effettivamente disponibili dati dalle velocità di rotazione delle ruota destra e sinistra, indicate con \omega_R e \omega_L rispettivamente. Semplici considerazioni consentono di mostrare che esiste una relazione biunivoca tra le velocità delle ruote destra e sinistra con la velocità del punto medio dell’asse delle ruote e quella angolare del robot:

v = \frac{r_R\cdot\omega_R + r_L\cdot\omega_L}{2} \\ \omega = \frac{r_R\cdot\omega_R - r_L\cdot\omega_L}{d}

dove r_R, r_L sono i raggi rispettivamente delle ruote sinistra e destra; mentre d è la distanza tra i centri delle stesse.

Il modello cinematico rispetto alla configurazione a uniciclo [eq. cinematica precedente] per un robot a trazione differenziale diviene quindi, applicando gli ingressi [eq. controllo differenziale]:

\begin{bmatrix}\dot x \\ \dot y \\ \dot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{r_R \cdot \cos \theta}{2} \\ \frac{r_R \cdot \sin \theta}{2} \\ \frac{r_R}{d} \end{bmatrix}\omega_R + \begin{bmatrix} \frac{r_L \cdot \cos \theta}{2} \\ \frac{r_L \cdot \sin \theta}{2} \\ -\frac{r_L}{d} \end{bmatrix}\omega_L

Affinché i comandi siano applicati correttamente, è necessario conoscere i parametri del robot, quali r_R, r_L e d. Nel caso che le dimensioni delle ruote siano le medesime si può ridurre l’equazione usando una sola variabile r.

Controllabilità

La conoscenza della matrice dei vincoli Pfaffiani definisce, in ogni configurazione \mathbf{q}, le velocità generalizzate ammissibili come quelle contenute nello spazio nullo [eq. Vincoli Pfaffiani] ottenendo quindi le soluzioni del sistema dinamico non lineare [eq. matrice Pfaffiana]. L’olonomia o l’anolonomia dei vincoli può quindi essere stabilita studiando le proprietà di controllabilità associate al modello [eq. cinematica Uniciclo] e conseguentemente al modello a trazione differenziale [eq. Differential Drive]. Infatti, si possono verificare i seguenti due casi o che il sistema sia controllabile o no, si usano quindi le condizioni di controllabilità per sistemi non lineari privi di deriva. In particolare si può usare la condizione di rango di accessibilità:

\dim \Delta_A = \dim \text{span} { \mathbf{g_1}, \mathbf{g_2}, [ \mathbf{g_1}, \mathbf{g_2}] } = 3

dove \Delta_A è la distribuzione di accessibilità associata al sistema [eq. cinematica uniciclo], ma nel caso di un singolo cinematico questa equivale alla distribuzione involutiva date dalle \mathbf{g_1}, \mathbf{g_2} e dalla parentesi di Lie:

[\mathbf{g_1}, \mathbf{g_2}]( \mathbf{q} ) = \begin{bmatrix} \sin \theta \\ - \cos \theta \\ 0 \end{bmatrix}

La [eq. distributione Delta] implica che la configurazione a uniciclo e conseguentemente il modello a trazione differenziale è controllabile con grado di anolonomia k=2 e che il vincolo Pfaffiano è anolonomo.

L’equivalenza tra i due sistemi

E’ interessante vedere come la velocità lineare ed angolare siano legate con la velocità dei motori.

modellirobot_0

Nel primo modello vengono evidenziate le velocità massime raggiungibili dai due motori del robot, mentre nel secondo modello, le velocità lineari ed angolari associati al robot.

Bibliografia

  1. L. . V. L. . O. G. Siciliano, B. & Sciavicco, Robotics, Modelling, Planning and Control. Milano: Springer, 2009.
  2. G. B. Guy Campion and B. D’AndrCa-Novel, “Structural properties and classification of kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots,” IEEE Transactions on robotics and automation, vol. 12, p. 311, February 1996.
  3. U. Nehmzow, Robotica Mobile: Una Introduzione Pratica. Springer Verlag, 2008.

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