August 10, 2013

DC Brushed motor

Il motore in corrente continua è contenuto in una cassa cilindrica nella figura seguente. Da una delle basi fuoriescono i due contatti per l’alimentazione, mentre da entrambe le basi fuoriesce l’albero motore. Lo statore ed il rotore sono racchiusi, invece, nella cassa. Il rotore è calettato sull’albero e può ruotare liberamente sul suo asse di rotazione. Questo è costituito da un cilindro di materiale ferromagnetico, realizzato con piccole lamelle circolari che sono elettricamente isolate una dall’altra, al fine di ridurre le correnti parassite. Sulla superficie laterale sono alloggiati i conduttori isolati che formano gli avvolgimenti d’armatura.

Motori

Un avvolgimento, come dice il termine stesso, è costituito da numerose spire, che si estendono sui vari alloggiamenti; le spire sono collegate ad un collettore a spazzole, che inverte, due volte per ogni giro, la direzione della corrente elettrica che percorre i due avvolgimenti, influenzato quindi dal campo magnetico generato dal circuito di eccitazione presente sullo statore, questo genera una forza elettromagnetica contro motrice. Lo statore è costituito da un circuito di eccitazione solidale alla cassa, che genera un campo magnetico dovuto all’induttore.

E’ interessante notare che tale macchina è perfettamente reversibile in quanto può funzionare come generatore e come motore trasformando energia meccanica in energia elettrica o reciprocamente come motore.

La trattazione relativa al motore in corrente continua verrà divisa in parti, una relativa al suo principio di funzionamento ed una seconda relativa al modello matematico sia a regime permanente che nel suo funzionamento dinamico. [vedi bibliografia in fondo alla pagina]

Principio di funzionamento

Grazie allo statore si crea un campo magnetico nel quale è immerso il rotore. Data una spira conduttrice, attraversata da corrente continua, su cui agisce una forza perpendicolare al piano individuato dal campo e dalla corrente, la forza generata ha una componente tangente al rotore.

Questa forza si esaurisce quando la superficie della spira è allineata con il campo magnetico. Per permettere la rotazione continua entrano in gioco le spazzole solidali alla cassa, che invertono il verso di scorrimento delle corrente presente sulle spire, permettendo quindi alla spira di ruotare.

Il collettore è costruito, nel caso di macchine bipolari, in modo tale che il piano delle spazzole divide l’avvolgimento d’armatura in due metà, percorse da correnti in verso opposto. In questo modo, tutti i momenti delle forze elettromagnetiche si sommano e al rotore viene applicata una coppia. Tale coppia dovrà essere tale da poter essere superiore alla forza contro elettromotrice generata dalle spire in rotazione.

Nel caso di piccoli azionamenti dove la potenza richiesta è di pochi Watt, il circuito di eccitazione è sostituito da magneti permanenti e le spire sul rotore sono sostituiti da un rotore detto a triplo T, nella figura seguente.

02-piccoloaazionamento-jpg

Rotore a triplo T

L’induttore è realizzato da un circuito ferromagnetico laminato, solitamente a forma di ferro di cavallo, altri modelli costituiti anche da due circuiti ferromagnetici distinti.

Tra queste ruota l’indotto (rotore) costituito da un nucleo munito di tre espansioni polari in ferro dolce laminato, la cui forma ricalca quella di una T ognuna di queste è dotata di un avvolgimento di magnetizzazione, queste sono distanziate tra loro di 120° per evitare inconvenienti presenti allo spunto del motore, in modo tale da avere sempre un avvolgimento rotorico con una forza sufficiente alla rotazione del rotore.

I tre avvolgimenti rotorici sono collegati in modo tale da formare un circuito chiuso con i punti di unione collegate alle tre lamelle del collettore sul quale appoggiano le due spazzole in posizione diametrale. I tre avvolgimenti sono sempre uno in parallelo alle serie degli altri due, questo collegamento è visibile in figura

03-avvolgimentirotore-jpg

Avvolgimenti rotore

Modello

Il modello della macchina può essere scomposto in due parti a seconda che sia usata come dinamo o come motore, tale trattazione sarà rilevante
ancor di più quando si analizzerà il modello dinamico.

Modello a regime permanente

Nel caso sia usata come motore, l’equazione a regime è definita come:

V=V_{i}+R_{i}I_{i}

La tensione indotta in funzione del flusso magnetico e dei giri è data da:

V_{i}=k_{i}\Phi\omega=k_{O}\omega

La potenza richiesta dalla macchina è quindi:

P = VI_{i} = \underbrace{V_{i}I_{i}}_{Pg}+\underbrace{R_{i}I_{i}^{2}}_{Pj}
P_{o} = P_{g}+P_{j}

La coppia motrice sarà quindi, la corrente tenendo conto della eq. del motore:

C_{em}=frac{P_{g}}{\omega}=\frac{V_{i}I_{i}}{\omega}=\frac{k_{O}}{R_{i}}\left(V-k_{O}\omega\right)

Dall’ultima equazione si può notare come la coppia del motore vari linearmente rispetto alla velocità \omega.

04a-eqmotore-jpg04b-eqelettricam-jpg

Nelle figure precedenti si può notare che il circuito è pressoché identico, grazie alla reversibilità della macchina, ma ovviamente il verso delle correnti non è lo stesso.

Modello dinamico

Il modello matematico del motore si può dividere in due sistemi, uno elettrico ed uno meccanico. Il comportamento elettrico del motore è determinato dalla prima equazione dovuta al circuito d’indotto:

v\left(t\right)=R_{i}cdot i_{i}\left(t\right)+L_{i}\cdot\frac{d}{dt}i_{i}\left(t\right)+k_{O}\cdot\omega\left(t\right)

Dove:

  • Resistenza R_{i} dovuta alla resistenza propria del conduttore e del collettore;
  • Autoinduttanza L_{i} del circuito indotto. L’anisotropia dell’induttore dell’induttore, che è del tipo a poli sporgenti, fa si che l’induttanza propria del circuito d’indotto abbia al variare con la posizione dell’indotto stesso.

Per i fenomeni elettromeccanici si dispone dell’equazione della coppia dove:

C_{m}\left(t\right) = C_{J}+C_{D}+C_{c}
C_{m}\left(t\right) = J\cdot\frac{d}{dt}\omega\left(t\right)+D\cdot\omega\left(t\right)+C_{c}
C_{m}\left(t\right) = k_{O}\cdot i_{i}\left(t\right)

  • La Coppia d’inerzia C_{J} legata all’asse del rotore e proporzionale alla velocità;
  • D il coefficiente d’attrito;
  • C_{c} la coppia di carico sul rotore.

Data la linearità del sistema è possibile analizzare il sistema complessivo costituito dalle eq. del circuito indotto e eq. equazioni delle coppie nel dominio della trasformata di Laplace ottenendo le seguenti equazioni:

V\left(s\right) = R_{i}I_{i}\left(s\right)+sL_{i}I_{i}\left(s\right)+k_{O}\Omega\left(s\right)
C_{m}\left(s\right) = sJ\Omega\left(s\right)+D\Omega\left(s\right)+C_{c}
C_{m}\left(s\right) = k_{O}\cdot I_{i}\left(s\right)

Combinando opportunamente queste equazioni si costruiscono le equazioni:

I_{i}\left(s\right) = frac{1}{R_{i}}\frac{1}{1+\tau_{e}s}\left(V\left(s\right)-k_{O}\Omega\left(s\right)\right)
\Omega\left(s\right) = frac{1}{D}\frac{1}{1+\tau_{m}s}\left(k_{O}\cdot I_{i}\left(s\right)-C_{c}\right)

05-modellodinamico-jpg

Modello dinamico – Schema a blocchi

Lo schema a blocchi del motore a collettore in corrente continua nella figura precedente ha la seguenti funzioni di trasferimento dove sono evidenziate le due costanti di tempo relative alla parte elettrica ed alla parte meccanica:

\tau_{e} = \frac{L_{i}}{R_{i}}
\tau_{m} = \frac{J}{D}

Per quanto riguarda il modello dinamico del motore in corrente continua sarà quindi caratterizzato:

\dot{x} = \mathbf{A}x+\mathbf{B}u
y = \mathbf{C}x

dove le variabili di stato sono scelte come:

x_{1}\left(t\right) = i_{i}\left(t\right)
x_{2}\left(t\right) = \omega\left(t\right)

rispettivamente la corrente circolante nel motore e la velocità di rotazione dell’asse rotorico, gli ingressi del sistema sono quindi u_{1}\left(t\right)=v\left(t\right) e u_{2}\left(t\right)=c_{c}\left(t\right) mentre le uscite del sistema y_{1}\left(t\right)=i_{i}\left(t\right) e y_{2}\left(t\right)=\omega\left(t\right).

Le matrici del sistema dinamico sono quindi:

Matrice A

\mathbf{A}=\begin{pmatrix} -\frac{R_{i}}{L_{i}} & -\frac{k_{O}}{L_{i}}\\ \frac{k_{O}}{J} & -\frac{D}{J}\end{pmatrix}

Matrice B

\mathbf{B}=\begin{pmatrix} \frac{1}{L_{i}} & 0\\ 0 & -\frac{1}{J}\end{pmatrix}

Matrice C

\mathbf{C}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

E’ interessante notare che le uscite del sistema permettono di ricostruire tutto lo stato del motore.

Bibliografia

M.Pezzi, Macchine elettriche, 2nd ed. Zanichelli, 1990.

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